Định nghĩa

Cho E là không gian vectơ trên trường số D {\displaystyle D} và ánh xạ ‖ . ‖ : E → R {\displaystyle \left\Vert .\right\Vert :E\to \mathbb {R} }

Ta nói ‖ . ‖ {\displaystyle \left\Vert .\right\Vert } là chuẩn trên E nếu nó thỏa 3 tính chất sau:

( 1 ) . | | x | | ≥ 0 x ∈ E ; {\displaystyle (1).||x||\geq 0\quad x\in E;} , ( 2 ) . | | x | | = 0 ⇔ x = 0 {\displaystyle (2).||x||=0\Leftrightarrow x=\mathbf {0} } nếu x là 1 vector. ( 3 ) . | | k x | | = | k | . | | x | | ; ∀ x ∈ E , k ∈ R {\displaystyle (3).||kx||=|k|.||x||;\quad \forall x\in E,k\in \mathbb {R} } ( 4 ) . | | x + y | | ≤ | | x | | + | | y | | , ∀ x , y ∈ E {\displaystyle (4).||x+y||\leq ||x||+||y||,\quad \forall x,y\in E}

Nếu ‖ . ‖ {\displaystyle \left\Vert .\right\Vert } là chuẩn trên E, ta nói ( E , ‖ . ‖ ) {\displaystyle (E,\left\Vert .\right\Vert )} là không gian vecto định chuẩn (còn đọc tắt là không gian định chuẩn).[1]

Ta có thể định nghĩa chuẩn bằng công thức: ‖ x ‖ := sup x ∈ E , | x | = 1 { | x i | } {\displaystyle \left\Vert x\right\Vert :=\sup _{x\in E,\left\vert x\right\vert =1}\left\{|x_{i}|\right\}} và có thể hiểu phép định chuẩn như là vi phân độ dài của vector x.

Một số ví dụ về chuẩn

• Không gian R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} với các metric: d 1 ( x , y ) = | x 1 − y 1 | + | x 2 − y 2 | {\displaystyle d_{1}(x,y)=|x_{1}-y_{1}|+|x_{2}-y_{2}|} d 2 ( x , y ) = [ ( x 1 − y 1 ) {\displaystyle d_{2}(x,y)=[(x_{1}-y_{1})} 2 + ( x 2 − y 2 ) {\displaystyle +(x_{2}-y_{2})} 2 ] {\displaystyle ]} 1/2 d ∞ ( x , y ) = m a x { | x 1 − y 1 | , | x 2 − y 2 | } {\displaystyle d_{\infty }(x,y)=max\{|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|\}}

lần lượt có các chuẩn tương ứng sau:

‖ x − y ‖ 1 = | x 1 − y 1 | + | x 2 − y 2 | {\displaystyle \left\Vert x-y\right\Vert _{1}=|x_{1}-y_{1}|+|x_{2}-y_{2}|} ‖ x − y ‖ 2 = [ ( x 1 − y 1 ) {\displaystyle \left\Vert x-y\right\Vert _{2}=[(x_{1}-y_{1})} 2 + ( x 2 − y 2 ) {\displaystyle +(x_{2}-y_{2})} 2 ] {\displaystyle ]} 1/2 ‖ x − y ‖ ∞ = m a x { | x 1 − y 1 | , | x 2 − y 2 | } {\displaystyle \left\Vert x-y\right\Vert _{\infty }=max\{|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|\}}

• Không gian các hàm số mũ p khả tích trên khoảng [0,1] với chuẩn ‖ ‖ p {\displaystyle \left\Vert \right\Vert _{p}} sau;

Khi p=1;

‖ f ‖ p = ( ∫ 0 1 | f ( t ) | d t ) {\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{0}^{1}|f(t)|dt\right)}

Khi 1 < p < ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } ;

‖ f ‖ p = ( ∫ 0 1 | f ( t ) | p d t ) 1 / p {\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{0}^{1}|f(t)|^{p}dt\right)^{1/p}}

Khi p = ∞ {\displaystyle p=\infty } ;

‖ f ‖ p = inf { λ : | f ( x ) | ≤ λ h . k . n } {\displaystyle \|f\|_{p}=\inf \lbrace {\lambda :|f(x)|\leq \lambda \qquad h.k.n\rbrace }}

• Không gian các hàm liên tục f từ R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} vào R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} và khả tích với chuẩn ‖ ‖ {\displaystyle \left\Vert \right\Vert } sau;

Khi n=1;

‖ f ‖ = ( ∫ 0 1 | f ( t ) | d t ) {\displaystyle \|f\|=\left(\int _{0}^{1}|f(t)|dt\right)}

Khi 1 < n < ∞ {\displaystyle 1<n<\infty } ;

‖ f ‖ = ( ∫ 0 1 ∑ k = 1 n ( f k ( t ) ) 2 d t ) 1 / 2 {\displaystyle \|f\|=\left(\int _{0}^{1}\sum _{k=1}^{n}(f_{k}(t))^{2}dt\right)^{1/2}}

Khi n = ∞ {\displaystyle n=\infty } ;

‖ f ‖ = sup { | f k ( x ) | : x ∈ R m , k ∈ N } {\displaystyle \|f\|=\sup \lbrace {|f_{k}(x)|:x\in \mathbb {R} ^{m},k\in \mathbb {N} \rbrace }}

Trong đó

x = ( x 1 , . . . , x m ) , f = ( f 1 ( x ) , . . . , f n ( x ) ) {\displaystyle x=(x_{1},...,x_{m}),f=(f_{1}(x),...,f_{n}(x))} { f i ( x ) } 1 ≤ i ≤ n : R m → R {\displaystyle \lbrace {f_{i}(x)\rbrace }_{1\leq i\leq n}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} } , x i ∈ R , ∀ i ∈ 1 , . . , m ¯ {\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} ,\qquad \forall i\in {\overline {1,..,m}}}